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24、如图所示,△ABC为等边三角形,AQ=PQ,PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,有下面四个结论:
①点P在∠BAC的平分线上;
②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP
(1)判断上面结论中
①②③④
是正确的;
(2)选择其中一个证明.
分析:根据角平分线的判定定理知,①正确;根据已知,易证△ARP≌△ASP,所以AS=AR;根据等腰三角形的性质知,∠1=∠2,∠3=∠2,所以∠1=∠3,内错角相等,所以PQ∥AR;根据①②③的结论,易证④正确.
解答:解:(1)①正确,∵PR=PS,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,
∴点P在∠A的平分线上;AQ=PQ.
②正确,∵点P在∠A的平分线上,
∴△ARP≌△ASP.
∴AS=AR.
③正确,∵点P在∠A的平分线上;
∴∠2=∠3.
又∵AQ=PQ,
∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3.
∴QP∥AR.
④∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C.
又∵PR⊥AB于R,PS⊥AC于S,
∴∠BRP=∠CSP.
又∵BP=CP,
∴△BRP≌△QSP.
故答案为①②③④.
点评:充分利用等边三角形三个角相等、三线合一等性质,找到图中相等的量,再根据角平分线的性质、平行线的判定等知识进行判定.
练习册系列答案
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如图所示,△ABC为等边三角形,D、E分别是CB、BC延长线上的点,连接AD、AE,且∠D精英家教网AE=120°,试问:
(1)△ADB与△EDA能相似吗?
(2)△ADB与△EAC能相似吗?
(3)BC2=BD•CE能成立吗?请说明以上各问的理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,△ABC为正三角形,P是BC上的一点,PM⊥AB,PN⊥AC,设四边形AMPN,△ABC的周长分别为m、n,则有(  )
A、
1
2
m
n
3
5
B、
2
3
m
n
3
4
C、80%<
m
n
<83%
D、78%<
m
n
<79%

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科目:初中数学 来源: 题型:

附加题.观察计算
当a=5,b=3时,
a+b
2
ab
的大小关系是

当a=4,b=4时,
a+b
2
ab
的大小关系是
=
=

●探究证明
如图所示,△ABC为圆O的内接三角形,AB为直径,过C作CD⊥AB于D,设AD=a,BD=b.
(1)分别用a,b表示线段OC,CD;
(2)探求OC与CD表达式之间存在的关系(用含a,b的式子表示).
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明,你能得出
a+b
2
ab
的大小关系是:
a+b
2
ab
(当a=b时,取“=”)
a+b
2
ab
(当a=b时,取“=”)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,BF平分∠ABC,CD⊥AB于D,CD交BF于点G,GE∥CA,求证:CE与FG互相垂直平分.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示的△ABC为等边三角形,边长为2,D为BC中点,△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB,则BE=
1
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