Question

【题目】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，连接DE，CF交AD于G，点E是BF中点．

（1）求证：△AFG∽△AED
（2）若FG=2，G为AD中点，求CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点，

∴BD=CD，BE=EF，

∴DE是△BCF的中位线，

∴DE∥CF，

∴DE∥FG，

∴△AFG∽△AED

（2）解：∵G为AD中点，FG∥DE，

∴AF=EF，

∴FG是△ADE的中位线，

∴DE=2FG=4，

∴CF=2DE=8，

∴CG=FC﹣FG=8﹣2=6

【解析】（1）在△BCF中，D是BC的中点，E，是BF的中点，故DE是△BCF的中位线，根据中位线定理得出DE∥CF，然后根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，判断出△AFG∽△AED；
（2）根据中位线的判定由G为AD中点，FG∥DE，从而得出AF=EF，进而判断出FG是△ADE的中位线，根据中位线定理得出DE=2FG=4，CF=2DE=8，进而得出CG的长。
【考点精析】掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定是解答本题的根本，需要知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．