Question

13．如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．
（1）直接写出ED和EC的数量关系：ED=EC；
（2）DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；
（3）填空：当BC=2时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形．

Answer 1

分析 （1）连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；
（2）连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线；
（3）要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°可判断四边形OCED为正方形．

解答 解：（1）连结CD，如图，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=CE=BE；
（2）DE是⊙O的切线．理由如下：
连结OD，如图，
∵BC为切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，
∵OC=OD，ED=EC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）当BC=2时，
∵CA=CB=2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴DE⊥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵OA=DE=1，AO∥DE，
∴四边形AOED是平行四边形；
∵OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，
∴四边形OCED为正方形．
故答案为ED=EC；2，正方形．

点评 本题考查了切线的判断与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线为：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．解决（3）小题的关键是熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法．