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    如图，在等腰梯形ABCE中，BC∥AE且AB=BC，以点E为坐标原点建立平面直角坐标系，若将梯形ABCD沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上点D位置，过C、D两点的直线与y轴交于点F．
    （1）试判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明你的理由；
    （2）如果∠BAE=60°，AB=2cm，那么在y轴上是否存在一点P，使以P、D、F为顶点的三角形构成等腰三角形，若存在，请求出所有可能的P点坐标，若不存在，请说明理由；
    （3）在（2）的条件下，若将△EDF沿x轴正方向以1cm/s的速度平移到点E与点A重合时为止，设△EDF在平移过程中与△ECA重合部分的面积为S，平移的时间为x秒，试求出S与x之间的函数关系式及自变量范围，并求出何时S有最大值，最大值是多少？
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    分析：（1）由已知易得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．
    （2）若△PDF等腰三角形DF可能为腰，分别讨论找出相关系并求出坐标进行判断．
    （3）由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2，设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
    		3
    x，AD'=AE-D′E′-EE'=4-2-x=2-x，可得S△EME′=
    		3
    2
    x2，S△AD′N=
    		3
    4
    （2-x）2，则S=S△ADE-S△EME′-S△AD′N，代入整理可得S与x的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可．
    解答：解：（1）四边形ABCD为菱形．
    理由如下：因为点B和点D关于直线AC对称所以AB=AD，BC=DC．由AB=BC得AB=BC=DA=AB，所以四边形ABCD为菱形．

    （2）因为四边形ABCD为菱形，所以DF∥AB，所以∠CDE=∠CED=60°，所以△CDE为等边三角形，所以DE=CD=AB=2cm．在Rt△DEF中，DF=DEcos60°=2cos60°=4cm．
    ①如果以F为顶点，即FP=FD时，P点坐标为（0，4+2
    		3
    ），（0，2
    		3
    -4）；
    ②如果以P为顶点，即PF=PD时，P点坐标为（0，
    2
    		3
    3
    ）；
    ③如果以D为顶点，即DF=DP时，P点坐标为（0，-2
    		3
    ）．
    综上所述，P点坐标为（0，4+2
    		3
    ），（0，2
    		3
    -4），（0，
    2
    		3
    3
    ），（0，-2
    		3
    ）．

    （3）
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    由（2）可得，AE=DE+AD=4cm，则DE=2，AD=2
    ①设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′A=4-x，AD'=AE′-E′D′=4-x-2=2-x，
    可得S△A′ME′=
    		3
    6
    （4-x）2，S△AD′N=
    		3
    4
    （2-x）2，
    则S=S△A′ME′-S△AD′N=
    		3
    6
    （4-x）2-
    		3
    4
    （2-x）2（0≤x≤1）；
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    ②设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，E′M=
    		3
    x，AD'=AE-D'E′-EE′=4-2-x=2-x
    可得S△EME′=
    		3
    2
    x2
    S△AD′N=
    		3
    4
    （2-x）2，
    则S=S△AME-S△EME′-S△AD′N=
    1
    2
    ×2×2
    		3
    -
    		3
    2
    x2-
    		3
    4
    （2-x）2=-
    3
    4
    		3
    x2+
    		3
    x+
    		3
    （1≤x≤2）
    当x=-
    b
    2a
    =-
    		3
    2×(-
    3
    		3
    4
    )
    =
    2
    3
    ，则当x=1时，S有最大值是：
    		3
    4
    （2-1）2=
    		3
    4
    ；
    ③设△DEF平移到△D′E′F′，则EE′=x，AE′=4-x，
    可得S=S△A′ME′=
    		3
    6
    （4-x）2（2≤x≤4）．
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    点评：本题考查梯形，菱形、直角三角形、二次函数的相关知识的理解及运用，综合性强，做题时要注意知识点之间的联系．
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    （1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
    （2）试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存精英家教网在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

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    (1)分别求出当点Q位于AB、BC上时，S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

    (2)当线段PQ将梯形AB∥⊥CD分成面积相等的两部分时，x的值是多少？

    (3)当(2)的条件下，设线段PQ与梯形AB∥⊥CD的中位线EF交于O点，那么OE与OF的长度有什么关系？借助备用图说明理由；并进一步探究：对任何一个梯形，当一直线l经过梯形中位线的中点并满足什么条件时，一定能平分梯形的面积？(只要求说出条件，不需要证明)

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