Question

如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0），点N（0，6）．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N?O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）当t为何值时，PQ与l平行．

Answer 1

分析：（1）由于四边形PQMN的形状不确定，因此可用△OMN的面积减去△OPQ的面积来求．△OMN的面积不难求出，而△OPQ中，可根据P、Q的速度，用时间t表示出OP，PQ的长，然后根据三角形的面积计算公式即可求出△OPQ的面积．由此可得出四边形的面积S与t的函数关系式．t的取值范围可根据Q与O，M两点不重合（重合时不能得出四边形PQMN）来求出．
（2）当PQ∥MN时，△OPQ∽△ONM，那么可得出关于OP，ON，OQ，OM的比例关系式．用t表示出OP、OQ后，可根据比例关系式求出t的值．

解答：解：（1）依题意，运动总时间为t=

8

2

=4秒，要形成四边形MNPQ，则运动时间为0＜t＜4．（1分）
当P点在线段NO上运动t秒时，
OP=6-t，OQ=2t
∴S_△POQ=

1

2

OP•OQ=-t²+6t
此时四边形MNPQ的面积
S=S_△MON-S_△POQ
=

1

2

×8×6-（-t²+6t）
=t²-6t+24
∴S关于t的函数关系式为S=t²-6t+24．（0＜t＜4）

（2）当PQ与l平行时，△NOM∽△POQ

MO

QO

=

NO

PO

即

8

2t

=

6

6-t

∴10t=24，即t=2.4
∴当t=2.4秒时，PQ与l平行．

点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点．