Question

3．已知方程x²-2x-1=0的两实根分别为x₁，x₂，求x₁x₂⁵-12x₁的值．

Answer 1

分析 由根与系数关系，得x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，由已知，得x₂²-2x₂-1=0，即x₂²=2x₂+1，将x₁x₂⁵-12x₁逐步降次，与x₁+x₂=2代求得答案即可．

解答 解：∵方程x²-2x-1=0的两实根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，x₂²-2x₂-1=0，即x₂²=2x₂+1，
∴x₁x₂⁵-12x₁
=-${x}_{2}^{4}$-12x₁
=-（2x₂+1）²-12x₁
=-4${x}_{2}^{2}$-4x₂-1-12x₁
=-4（2x₂+1）-4x₂-1-12x₁
=-12（x₁+x₂）-5
=-29．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．