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    如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，1），B点在x轴负半轴上，且∠ABO=45°，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，使A点到达A′点，B点到达B′点．
    （1）求A′，B′两点的坐标；
    （2）求经过B，B′，A′三点的抛物线的解析式；
    （3）以原点O为位似中心把线段AB放大（或缩小），使经过位似变换后的点A落在（2）中的抛物线上，求变换后的线段的长；
    （4）若点P是y轴右侧的抛物线上一点，Q是y轴上一点，且△B′PQ∽△OA′B′，请求出P，Q两点坐标．

    【答案】分析：（1）根据点A的坐标为（-2，1），∠ABO=45°，B点在x轴负半轴上可求出B点坐标为（-3，0），根据图形的旋转不变性，可求出A′、B′两点的坐标；
    （2）已知A′、B′、B三点的坐标，设出二次函数的一般式，利用待定系数法求解即可；
    （3）根据位似变换的定义，设出变换后的点的坐标，代入抛物线，求出位似变换后的坐标即可计算．
    （4）设出所求点的横坐标，便可根据二次函数解析式用横坐标表示出纵作标，再利用相似三角形的性质解答．
    解答：解：（1）如图，根据图形的旋转不变性，AN=A′U=1，AQ=A′M=2，OB=OB′，
    所以A′（1，2），
    又因为∠ABO=45°，
    所以BN=AN=1，
    于是OB=2+1=3．
    则得B′（0，3）．

    （2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
    将B（3，0），B′（0，3），A′（1，2）代入解析式
    得：，
    解得a=-，b=-，c=3，
    ∴解析式为y=-x2-x+3；

    （3）可设位似变换后的点A″的坐标为（-2k，k）或者（2k，-k），
    代入抛物线解析式y=-x2-x+3中，
    求得k=±，
    ∴A″B″=|yA|=k=×=，
    所以变换后的线段长为；

    （4）∵△B′PQ∽△OA′B′，
    ∴∠OB′A′=∠B′QP=45°．
    作PE⊥EQ．设P（m，-m2-m+3），则Q（0，-m2-m+3）．
    ∵△B′PQ∽△OA′B′，
    ∴=，
    ∴得方程=，
    解得m1=0（舍去），m2=3．
    ∴P（3，-3），Q（0，-6）．
    点评：本题综合性较强，考查了旋转变换、位似变换、相似三角形的性质、利用待定系数法求函数解析式等概念，思维跳跃很大，需要同学们有扎实的基础知识．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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