Question

18．已知抛物线y=ax²-4ax+3和直线y=bx-4b+3相交于一定点A．
（1）求点A的坐标；
（2）设抛物线y=ax²-4ax+3与y轴的交点为B，直线y=bx-4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D．问否存在一点C，使A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线y=ax²-4ax+3过点（2，-1），直线y=bx-4b+3与抛物线的另一个交点为P，若△POA的面积等于$\frac{35}{2}$，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）直接用抛物线解析式和直线解析式联立方程组，求解即可；
（2）先求出C（2，-2b+3），D（2，$\frac{3}{2}$），A（4，3），B（0，3），然后根据以A，C，D为顶点的三角形与△AOB相似，建立方程，求解即可；
（3）根据抛物线经过点（2，-1），求出a先求出P（b，b²-4b+3），分两种情况根据△AOP的面积求出b．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+3和直线相交于一定点A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=ax2-4ax+3}\\{y=bx-4b+3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{b}{a}}\\{y=\frac{{b}^{2}}{a}-4b+3}\end{array}\right.$．
∴A（4，3）；
（2）存在，b₁=0，b₂=$\frac{4}{3}$；如图1，

∵抛物线y=ax²-4ax+3与y轴的交点为B，
∴B（0，3），对称轴x=2，
∵点A（4，3），
∴直线OA解析式为y=$\frac{3}{4}$x，
∵直线y=bx-4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C，D，
∴C（2，-2b+3），D（2，$\frac{3}{2}$），
∵A（4，3），B（0，3），
∴△OBA为直角三角形，AB=4，OB=3，
∵使A，C，D为顶点的三角形与△AOB，
①当∠ACD=90°时，点在直线AB上，
∴点C₁（2，3），
∴-2b+3=3，
∴b=0
②当∠DAC=90°时，AC⊥OA，
∴直线AC解析式为 y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$，
∵点C（2，-2b+3），
∴-2b+3=-$\frac{4}{3}$×2+$\frac{25}{3}$，
∴b=$\frac{4}{3}$，
即：b₁=0，b₂=$\frac{4}{3}$；
（3）∵抛物线y=ax²-4ax+3过点（2，-1），
∴a=1，
∴y=x²-4x+3，
∴P（b，b²-4b+3），
∴直线AP的解析式为y=bx+3-4b，
∴直线AP与y轴的交点为M（0，3-4b），
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×4=2|3-4b|，
S_△POM=$\frac{1}{2}$×|3-4b|×|b|，
①当b＞0时，Ⅰ、当0＜b＜4时，即：点P纵坐标比点A的大时（点P在点A上方），
S_△AOP=S_△AOM-S_△POM=2|3-4b|-$\frac{1}{2}$|3-4b|×b=$\frac{35}{2}$，
（Ⅰ）、0＜b＜$\frac{3}{4}$时，b₁=-1（舍），b₂=$\frac{23}{4}$（舍），
（Ⅱ）、$\frac{3}{4}$＜b＜4时，方程无解，
Ⅱ、当b＞4时，即：点P纵坐标比点A的小时（点P在点下方），如图，

S_△AOP=S_△POM-S_△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×b-2|3-4b|=$\frac{1}{2}$（4b-3）×b-2（4b-3）=$\frac{35}{2}$，
∴b₁=-1（舍）或b₂=$\frac{23}{4}$，
②当b＜0时，3-4b＞0，
∴S_△AOP=S_△AOM+S_△POM=2|3-4b|+$\frac{1}{2}$|3-4b|×（-b）=$\frac{35}{2}$，
∴2（3-4b）+$\frac{1}{2}$（3-4b）×b=$\frac{35}{2}$，
∴4b²-19b-23=0，
b₁=-1，b₂=$\frac{23}{4}$（舍），
∴b=-1，
即：a=1，b=-1或$\frac{23}{4}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了求两个函数图象的交点坐标，三角形相似的性质，三角形面积的计算，求点的坐标是解本题关键．