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18.已知抛物线y=ax2-4ax+3和直线y=bx-4b+3相交于一定点A.
(1)求点A的坐标;
(2)设抛物线y=ax2-4ax+3与y轴的交点为B,直线y=bx-4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C,D.问否存在一点C,使A,C,D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由;
(3)设抛物线y=ax2-4ax+3过点(2,-1),直线y=bx-4b+3与抛物线的另一个交点为P,若△POA的面积等于$\frac{35}{2}$,求a和b的值.

分析 (1)直接用抛物线解析式和直线解析式联立方程组,求解即可;
(2)先求出C(2,-2b+3),D(2,$\frac{3}{2}$),A(4,3),B(0,3),然后根据以A,C,D为顶点的三角形与△AOB相似,建立方程,求解即可;
(3)根据抛物线经过点(2,-1),求出a先求出P(b,b2-4b+3),分两种情况根据△AOP的面积求出b.

解答 解:(1)∵抛物线y=ax2-4ax+3和直线相交于一定点A,
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=ax2-4ax+3}\\{y=bx-4b+3}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{b}{a}}\\{y=\frac{{b}^{2}}{a}-4b+3}\end{array}\right.$.
∴A(4,3);
(2)存在,b1=0,b2=$\frac{4}{3}$;如图1,

∵抛物线y=ax2-4ax+3与y轴的交点为B,
∴B(0,3),对称轴x=2,
∵点A(4,3),
∴直线OA解析式为y=$\frac{3}{4}$x,
∵直线y=bx-4b+3和直线OA分别与抛物线的对称轴相交于点C,D,
∴C(2,-2b+3),D(2,$\frac{3}{2}$),
∵A(4,3),B(0,3),
∴△OBA为直角三角形,AB=4,OB=3,
∵使A,C,D为顶点的三角形与△AOB,
①当∠ACD=90°时,点在直线AB上,
∴点C1(2,3),
∴-2b+3=3,
∴b=0
②当∠DAC=90°时,AC⊥OA,
∴直线AC解析式为 y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{3}$,
∵点C(2,-2b+3),
∴-2b+3=-$\frac{4}{3}$×2+$\frac{25}{3}$,
∴b=$\frac{4}{3}$,
即:b1=0,b2=$\frac{4}{3}$;
(3)∵抛物线y=ax2-4ax+3过点(2,-1),
∴a=1,
∴y=x2-4x+3,
∴P(b,b2-4b+3),
∴直线AP的解析式为y=bx+3-4b,
∴直线AP与y轴的交点为M(0,3-4b),
∴S△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×4=2|3-4b|,
S△POM=$\frac{1}{2}$×|3-4b|×|b|,
①当b>0时,Ⅰ、当0<b<4时,即:点P纵坐标比点A的大时(点P在点A上方),
S△AOP=S△AOM-S△POM=2|3-4b|-$\frac{1}{2}$|3-4b|×b=$\frac{35}{2}$,
(Ⅰ)、0<b<$\frac{3}{4}$时,b1=-1(舍),b2=$\frac{23}{4}$(舍),
(Ⅱ)、$\frac{3}{4}$<b<4时,方程无解,
Ⅱ、当b>4时,即:点P纵坐标比点A的小时(点P在点下方),如图,

S△AOP=S△POM-S△AOM=$\frac{1}{2}$|3-4b|×b-2|3-4b|=$\frac{1}{2}$(4b-3)×b-2(4b-3)=$\frac{35}{2}$,
∴b1=-1(舍)或b2=$\frac{23}{4}$,
②当b<0时,3-4b>0,
∴S△AOP=S△AOM+S△POM=2|3-4b|+$\frac{1}{2}$|3-4b|×(-b)=$\frac{35}{2}$,
∴2(3-4b)+$\frac{1}{2}$(3-4b)×b=$\frac{35}{2}$,
∴4b2-19b-23=0,
b1=-1,b2=$\frac{23}{4}$(舍),
∴b=-1,
即:a=1,b=-1或$\frac{23}{4}$.

点评 此题是二次函数综合题,主要考查了求两个函数图象的交点坐标,三角形相似的性质,三角形面积的计算,求点的坐标是解本题关键.

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