Question

17．如图，平面直角坐标系xOy 中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，动点P从点B出发在线段BO上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，同时动点Q从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向终点B移动，当其中一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动，设点P，Q移动的时间为t秒．
（1）当t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$时，△BPQ是直角三角形；
（2）当t为何值时，△BPQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位？
（3）当∠OPQ+2∠OAB=180°时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）先根据直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，求得OA=8，OB=6，AB=10，再分两种情况进行讨论：当∠BPQ=90°=∠O时，当∠BQP=90°=∠O，分别根据相似三角形的性质进行计算求解即可；
（2）先过点Q作QH⊥OB于H，则QH∥AO，得到△BHQ∽△BOA，求得QH=8-$\frac{8}{5}$t，再根据△BPQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位，列方程求解，得出t的值即可；
（3）先根据∠OPQ+∠BPQ=180°，∠OPQ+2∠OAB=180°，得出∠BPQ=2∠A，再过点P作PG⊥AB于G，则∠BPG=∠A，进而得出△PBG≌△PQG，得出BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，最后根据△BGP∽△BOA，列出比例式求得t的值即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（8，0），B（0，6），
即OA=8，OB=6，
∴Rt△AOB中，AB=10，
由题可得，BP=t，AQ=2t，BQ=10-2t，
如图1，当∠BPQ=90°=∠O时，PQ∥OA，
∴△BPQ∽△BOA，
∴$\frac{BP}{BO}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{10-2t}{10}$，
解得t=$\frac{30}{11}$；
如图2，当∠BQP=90°=∠O，∠B=∠B时，
△BQP∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{10-2t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{50}{13}$，
∴综上所述，当t=$\frac{30}{11}$或$\frac{50}{13}$秒时，△BPQ是直角三角形；

（2）如图3，过点Q作QH⊥OB于H，则QH∥AO，
∴△BHQ∽△BOA，
∴$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{QH}{AO}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{QH}{8}$，
解得QH=8-$\frac{8}{5}$t，
∴当△BPQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位时，$\frac{1}{2}$×BP×HQ=$\frac{24}{5}$，
即$\frac{1}{2}$×t×（8-$\frac{8}{5}$t）=$\frac{24}{5}$，
解得t=2或3，
∴t为2或3秒时，△BPQ的面积为$\frac{24}{5}$个平方单位；

（3）如图4，∵∠OPQ+∠BPQ=180°，
∴当∠OPQ+2∠OAB=180°时，∠BPQ=2∠A，
过点P作PG⊥AB于G，则∠BPG=∠A，
∴∠QPG=∠BPG=∠A，
又∵∠BGP=∠QGP=90°，PG=PG，
∴△PBG≌△PQG，
∴BG=GQ=$\frac{1}{2}$BQ=5-t，
∵∠PGB=∠O=90°，∠B=∠B，
∴△BGP∽△BOA，
∴$\frac{BG}{BO}$=$\frac{BP}{BA}$，即$\frac{5-t}{6}$=$\frac{t}{10}$，
解得t=$\frac{25}{8}$，
∴当∠OPQ+2∠OAB=180°时，t的值为$\frac{25}{8}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及一次函数的综合应用，解决问题的关键是作辅助线画出相应的图形进行分类讨论，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．