Question

某隧道根据地质结构要求其横截面要建成抛物线拱形，计划路面水平宽度AB=12m，根据施工需要，选取AB的中点D为支撑点，搭一个正三角形支架ADC，C点在抛物线上（如图所示），过C竖一根立柱CO⊥AB于O．
（1）求立柱CO的长度；
（2）以O点为坐标原点，AB所在的直线为横坐标轴，自己画出平面直角坐标系，写出A、B、C三点的坐标（坐标轴上的一个长度单位为1m）；
（3）求经过A、B、C三点的抛物线方程；
（4）请帮助施工技术员计算该抛物线拱形的高．

Answer 1

分析：（1）由△ACD为等边三角形，CO⊥AD得出立柱CO的长度；
（2）以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标；
（3）设抛物线方程y=ax²+bx+c，将A、B、C三点代入即可求解；
（4）抛物线的拱高，即是求抛物线方程y的最大值．

解答：解：（1）△ADC是边长为6的正三角形，CO是AD边上的高，
∴AO=OD=3，
CO²=

AC2-AO2

=

36-9

=3

3

（米）

（2）画出平面直角坐标系．
则A、（-3，0），B、（9，0），C、（0，3

3

）

（3）CO=3

3

，设抛物线方程为y=ax²+bx+3

3

把A（-3，0）、B（9，0）代入抛物线方程有

9a-3b+3 3 =0 81a+9b+3 3 =0

解得

a=- 3 9 b= 2 3 3

故y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

（4）y=-

3

9

x2+

2 3

3

x+3

3

=-

3

9

(x2-6x-27)=-

3

9

(x-3)2+4

3

．
故y的最大值是4

3

，即该抛物线拱形的高是4

3

m．

点评：本题考查的是同学们运用函数方程解决实际问题的能力以及最大值的求法．