Question

已知二次函数y=x²+bx-c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．
（1）如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
（2）设二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x²+bx-c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；
（2）设出程x²+bx-c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．

解答：解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x²+bx-c的图象上，
故1+b-c=a，4+2b-c=10a，
解得b=9a-3，c=8a-2；
（1）由c＜b＜8a知

8a-2＜9a-3 9a-3＜8a

，
解得1＜a＜3，
又a为整数，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；

（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．
由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，
消去a，得9mn-8（m+n）=-6，
两边同时乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．
所以

9m-8=1 9n-8=10

或

9m-8=-10 9n-8=-1

或

9m-8=-5 9n-8=-2

或

9m-8=2 9n-8=5

，
解得

m=1 n=2

或

m=- 2 9 n= 7 9

或

m= 1 3 n= 2 3

或

m= 10 9 n= 13 9

；
又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，
故m=1，n=2．
因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，
二次函数的解析式为y=x²-3x+2．
易求得点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），
所以△ABC的面积为

1

2

×(2-1)×2=1．

点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．