Question

（1）如图在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有三点P₁、P₂、P₃，它们的横坐标依次为1、2、3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设图中阴影部分面积依次为S₁、S₂、S₃，则S₁+S₂+S₃=______．
（2）若一次函数y=mx-4的图象与（1）中的反比例函数y=（x＞0）的图象有交点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一：把横坐标代入函数解析式分别求出三点P₁、P₂、P₃的坐标，然后根据矩形的面积公式分别求出S₁、S₂、S₃，相加即可；解法二：根据长与宽相等的矩形面积相等，可以把后两个矩形的平移到最左边两个空白处，于是，图中阴影部分的面积之和等于如图以点P₁为顶点的矩形的面积，再利用反比例函数图象进行解答；
（2）两式联立组成方程组，整理得到关于x的一元二次方程，利用判别式△≥0列式求解即可．
解答：解：（1）解法一：根据题意，当x=1时，y=-4，
当x=2时，y=-2，
当x=3时，y=-，
∴三点P₁、P₂、P₃的坐标分别为P₁（1，-4），P₂（2，-2），P₃（3，-），
∴S₁=1×（|-4|-|-2|）=2，S₂=1×（|-2|-|-|）=，S₃=1×|-|=，
∴S₁+S₂+S₃=2++=4；

解法二：如图，根据长与宽相等的矩形的面积相等，后两个阴影部分可以分别平移到①②的位置，
∵当x=1时，y=-4，
∴点P₁的坐标为P₁（1，-4），
∴S₁+S₂+S₃=1×|-4|=4；

（2）一次函数y=mx-4与反比例函数y=（x＞0）联立得，
，
整理得mx²-4x+4=0，
∵两函数图象有交点，
∴△=b²-4ac=（-4）²-4×4m=16-16m≥0，
解得m≤1，
∵y=mx-4是一次函数，
∴m≠0，
∴m的取值范围是x≤1且m≠0．
故答案为：（1）4；（2）m≤1且m≠0．
点评：本题综合考查了反比例函数图象的性质，点的坐标，三角形的面积，以及判别式的利用，综合性较强，求解时要注意用点的坐标表示边长的方法，不要出错．