Question

已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是______；如图2，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是______．

（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．

（3）当三角板OCD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线OM平分∠AOC、射线ON平分∠BOD（∠AOC≤180°，∠BOD≤180°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时∠MON的度数是多少）．

Answer 1

解：（1）∠BOD=90°-∠COD=90°-30°=60°，
∠AOC=90°-∠COD=90°-×30°=75°．

（2）不变，60°．
根据图中所示∠MON=（∠AOB-∠COD）+∠COD=（90°-30°）+30°=60度．

（3）①当0°＜α＜180°时，
∠MON=（90°+∠BOC）+（30°+∠BOC）-∠BOC=60°
②α=180°时，即∠AOC为平角，
（1）点M在OB上，
∴∠MOD=∠BOC+∠COD=90°+30°=120°，
又∵ON平分∠BOD，
∴∠MON=120×=60度．
（2）点M在BO上，
∠MON=180°-60°=120度．
故∠MON=60°或120°
③180°＜α＜240°时，
2（30°+∠MOD）+90°+∠CON+（∠CON+30°）=360°，
解得：∠MOD+∠CON=90°，则
∠MON=90°+30°=120°
④240°＜α＜360°时，
∠MON=（30°-∠AOD）+（90°-∠AOD）+∠AOD=60度．
分析：利用三角板角的特征和角平分线的定义解答：
（1）由图可得角之间的关系：∠BOD=90°-∠COD，∠AOC=90°-∠COD，据此解答；
（2）由图可得角之间的关系：∠MON=（∠AOB-∠COD）+∠COD；
（3）可分以下情况考虑：①当0°＜α＜180°时；②α=180°时，两种情况：点M在OB上和点M在BO上；③180°＜α＜240°时；④240°＜α＜360°时．
点评：此题很复杂，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，对同学们的作图、分析、计算能力有较高要求．在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量．