Question

如图：在△ABC中，BC=1．
（1）若AD₁=

1

3

AB，AE₁=

1

3

AC，则D₁E₁=

 

；
（2）若D₁D₂=

1

3

D₁B，E₁E₂=

1

3

E₁C，则D₂E₂=

 

；
（3）若D₂D₃=

1

3

D₂B，E₂E₃=

1

3

E₂C，则D₃E₃=

 

；
（4）若D_n-1D_n=

1

3

D_n-1B，E_n-1E_n=

1

3

E_n-1C，则D_nE_n=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据相似三角形的判定定理推知△AD₁E₁∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₁E₁=

1

3

=

31-21

31

；
（2）AD₂=AD₁+D₁D₂=

1

3

AB+

1

3

（AB-

1

3

AB）=

5

9

AB，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₂E₂=

5

9

=

32-22

32

；
（3）AD3=AD2+

1

3

（AB-AD2）=

5

9

AB+

1

3

（AB-

5

9

AB）=

19

27

AB，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₃E₃=

19

27

=

33-23

33

；
（4）由（1）、（2）、（3）可知

3n-2n

3n

BC=

3n-2n

3n

．

解答：解：（1）∵AD₁=

1

3

AB，AE₁=

1

3

AC，∠A=∠A，
∴△AD₁E₁∽△ABC，
∴

D1E1

BC

=

AD1

AB

，即

D1E1

1

=

1 3

1

，
∴D₁E₁=

1

3

=

31-21

31

；
故答案为：

1

3

；

（2）∵AD₁=

1

3

AB，AE₁=

1

3

AC，D₁D₂=

1

3

D₁B，E₁E₂=

1

3

E₁C，∠A=∠A，
∴△AD₂E₂∽△ABC，
∵D₁D₂=

1

3

D₁B，
∴AD₂=AD₁+D₁D₂=

1

3

AB+

1

3

（AB-

1

3

AB）=

5

9

AB，
∴

AD2

AB

=

D2E2

BC

，即

5 9 AB

AB

=

D2E2

1

，解得D₂E₂=

5

9

=

32-22

32

．
故答案为：

5

9

；

（3）∵同（1）可得△AD₃E₃∽△ABC，
∴D₃E₃=

19

27

=

33-23

33

．
故答案为：

19

27

；

（4）由（1）（2）（3）可知，D_nE_n=

3n-2n

3n

．
故答案为：

3n-2n

3n

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．