Question

【题目】已知二次函数 ．
（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a﹣k2+6k﹣4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：x2+kx+ k﹣ =0，

△1=b2﹣4ac=k2﹣4（ k﹣ ）

=k2﹣2k+14

=k2﹣2k+1+13

=（k﹣1）2+13＞0，

∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点

（2）

解：∵二次函数y=x2+kx+ k﹣ 的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，

∴当x=1时，函数值y＜0，

即1+k+ k﹣ ＜0，

解得：k＜ ，

∵关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，

∴k≠0且△2=b2﹣4ac=（2k+3）2﹣4k2=4k2+12k+9﹣4k2=12k+9＞0，

∴k＞﹣ 且k≠0，

∴﹣ ＜k＜ 且k≠0，

∴k=1

（3）

解：由（2）可知：k=1，

∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，

解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，

根据题意，0＜﹣2a﹣1＜3，

∴﹣2＜a＜﹣ ，

∴a的整数值为﹣1

【解析】（1）表示出方程：x2+kx+ k﹣ =0的判别式，即可得出结论；（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y＜0，再由关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值范围，从而得出k的整数值；（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值范围，继而得出a的整数值．