Question

如图1，在平面内取一点O，过点O作两条夹角为60°的数轴，使它们以点O为公共原点且具有相同的单位长度，这样在平面内建立的坐标系称为斜坐标系，我们把水平放置的数轴称为横轴（记作a轴），将斜向放置的数轴称为斜轴（记作b轴）．类似
于直角坐标系，对于斜坐标平面内的任意一点P，过点P分别作b轴、a轴的平行线交a轴、b轴于点M、N，若点M、N分别在a轴、b轴上所对应的实数为m与n，则称有序实数对（m，n）为点P的坐标．可知建立了斜坐标系的平面内任意一个点P与有序实数对（m，n）之间是相互唯一确定的．

（1）请写出图2（其中虚线均平行于a轴或b轴）中点P的坐标，并在图中标出点Q（2，-3）；
（2）如图3（其中虚线均平行于a轴或b轴），在斜坐标系中点A（1，4）、B（1，-1）、C（6，-1）．

①判断△ABC的形状，并简述理由；
②如果点D在边BC上，且其坐标为（2.5，-1），试问：在边BC上是否存在点E使△ACE与△ABD相全等？如有，请写出点E的坐标，并说明它们全等的理由；如没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）点P（5，4），点Q坐标如图所示；

（2）①△ABC是等边三角形，
∵AB∥b轴，BC∥a轴，
∴∠ABC=60°．
∵AB=|-1-4|=5，BC=|6-1|=5，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
②存在．
∵B（1，-1）、D（2.5，-1），
∴BD=2.5-1=1.5，
取CE=1.5，
则6-1.5=4.5，
∴存在点E（4.5，-1），使BD=CE，
在△ABD与△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE．
分析：（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的确定方法确定即可；
（2）①根据图形求出AB=BC=5，又∠B=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断；
②存在，根据题意求出BD的长度，然后使CE=BD，根据边角边定理即可证明△ACE与△ABD全等．
点评：本题考查了平面直角坐标系的拓广，等边三角形的判定，全等三角形的判定，读懂题目信息，并根据平面直角坐标系的知识以及全等三角形的判定解决是解题的关键，对同学们学以致用的能力有一定要求．