Question

30、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的个数有①∠EAF=45°；②△ABE∽△ACD；③EA平分∠CEF；④BE²+DC²=DE²（　　）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

Answer 1

分析：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF，因为∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似；
③根据SAS可证△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF；DE=EF；
④BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根据勾股定理判断．

解答：解：①根据旋转的性质知∠CAD=∠BAF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，故①正确；
②因为∠CAD与∠BAE不一定相等，所以△ABE与△ACD不一定相似，故②错误；
③∵AF=AD，∠FAE=∠DAE=45°，AE=AE，
∴△ADE≌△AFE，得∠AED=∠AEF，
即EA平分∠CEF，故③正确；
④∵∠FBE=45°+45°=90°，∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正确．
故选C．

点评：此题主要考查图形的旋转变换，解题是注意旋转前后对应的相等关系．