Question

4．如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；
（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+8．将点A的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）设P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），则F（a，8），依据两点间的距离公式求得PD的长（用含a的式子表示），然后由点P和点F的坐标可求得PF的长（用含a的式子表示，于是可求得PD与PF的差；
（3）由（2）可知PD=PF+2，故此三角形的周长=DE+PE+PF+2，由两点之间线段最短可知当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小，从而可求得点P的坐标；②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．设P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），依据S_△DPE=S_梯形PHOD-S_△PHE-S_△DOE列出阴影部分面积与a的函数关系，然后依据a的取值范围可求得△DPE面积的取值范围，从而可确定出点P的个数．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+8．
∵经过点A（8，0），
∴64a+8=0，解得a=-$\frac{1}{8}$．
抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{8}$x²+8．
（2）PD与PF的差是定值．
理由如下：设P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8），则F（a，8），
∵D（0，6），
∴PD=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{8}{a}^{2}-2）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{8}{a}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{1}{8}$a²+2，PF=8-（$-\frac{1}{8}{a}^{2}+8$）=$\frac{1}{8}{a}^{2}$．
∴PD-PF=2．
（3）①当点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，
∵PD-PF=2，
∴PD=PF+2，
∴PE+PD=PE+PF+2，
∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，
∵将x=4代入y=-$\frac{1}{8}$x²+8，得y=6，
∴P（4，6），此时△PDE的周长最小．
②如图1所示：过点P做PH⊥x轴，垂足为H．

设P（a，-$\frac{1}{8}$a²+8）
∴PH=-$\frac{1}{8}$a²+8，EH=a-4，OH=a
S_△DPE=S_梯形PHOD-S_△PHE-S_△DOE=$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{8}$a²+8+6）-$\frac{1}{2}$（$-\frac{1}{8}{a}^{2}$+8）（a-4）-$\frac{1}{2}$×4×6=-$\frac{1}{4}$a²+3a+4=-$\frac{1}{4}$（a-6）²+13．
∵点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），
∴0≤a≤8，
∴当a=6时，S_△DPE取最大值为13．当a=0时，S_△DPE取最小值为4．即4≤S_△DPE≤13，其中，当S_△DPE=12时，有两个点P．
∴共有11个令S_△DPE为整数的点．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数的函数值的范围、不规则图形的面积计算，列出△DPE的面积与a的函数关系式是解题的关键．