Question

15．在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，E为AC上一点，EF⊥BC于F，交CD于G

（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：CG=$\sqrt{3}$EG；
（2）如图2，点E为AC的中点，若BF=6$\sqrt{2}$，CG=5，求DG的长；
（3）如图3，若EG=$\sqrt{2}$CF，直接写出$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠DCA=30°，∠GCF=60°，∠CGF=30°，设EF=a，在Rt△ECF中，CE=2EF=2a，CF=$\sqrt{3}$a，CG=2CF=2$\sqrt{3}$a，由∠EGC=∠ECG=30°，推出EG=EC=2a，推出$\frac{CG}{EG}$=$\frac{2\sqrt{3}a}{2a}$=$\sqrt{3}$，即可证明．
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．由AM∥EF，AE=EC，推出FM=FC，由AB=AC，AM⊥BC，推出BM=CM，BM=2MF，由BF=6$\sqrt{2}$，推出MF=CF=2$\sqrt{2}$，BC=2BM=8$\sqrt{2}$，
由∠DCB=∠GCF，∠GFC=∠BDC=90°，推出△GFC∽△BDC，可得$\frac{CG}{BC}$=$\frac{CF}{CD}$，求出CD即可解决问题．
（3）由△FEC∽△FCG，可得CF²=EF•FG，设EF=a，CF=m，则GE=$\sqrt{2}$m，可得m²=a（a+$\sqrt{2}$m），推出a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$m或$\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$m（舍弃），推出tan∠ECF=tan∠B=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{DC}{BD}$，设AM=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）k，BM=2k，CD=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）n，BD=2n，则BC=4k，在Rt△BDC中，由BD²+CD²=BC²，可得4n²+[（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）n]²=（4k）²，可得n=$\frac{4k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$，推出BD=$\frac{8k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$，在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{12-4\sqrt{3}}$k，推出AD=BD-AB=$\frac{8k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$-$\sqrt{12-4\sqrt{3}}$k，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∴∠DAC=∠B+∠ACB=60°，
∵∠D=∠GFC=90°，
∴∠DCA=30°，∠GCF=60°，∠CGF=30°，设EF=a，
在Rt△ECF中，CE=2EF=2a，CF=$\sqrt{3}$a，CG=2CF=2$\sqrt{3}$a，
∵∠EGC=∠ECG=30°，
∴EG=EC=2a，
∴$\frac{CG}{EG}$=$\frac{2\sqrt{3}a}{2a}$=$\sqrt{3}$，
∴CG=$\sqrt{3}$EG．

（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．

∵GF⊥BC，
∴AM∥EF，
∵AE=EC，
∴FM=FC，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM，BM=2MF，
∵BF=6$\sqrt{2}$，
∴MF=CF=2$\sqrt{2}$，BC=2BM=8$\sqrt{2}$，
∵∠DCB=∠GCF，∠GFC=∠BDC=90°，
∴△GFC∽△BDC，
∴$\frac{CG}{BC}$=$\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{5}{8\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{CD}$，
∴CD=$\frac{32}{5}$，
∴DG=CD-CG=$\frac{32}{5}$-5=$\frac{7}{5}$．

（3）如图3中，

∵∠B+∠GCF=90°，∠GCF+∠FGC=90°，
∴∠FGC=∠B，
∵∠B=∠ECF，
∴∠ECF=∠FGC，∵∠EFC=∠GFC，
∴△FEC∽△FCG，
∴CF²=EF•FG，设EF=a，CF=m，则GE=$\sqrt{2}$m，
∴m²=a（a+$\sqrt{2}$m），
∴a²+$\sqrt{2}$ma-a²=0，
∴a=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$m或$\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$m（舍弃），
∴tan∠ECF=tan∠B=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{DC}{BD}$，设AM=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）k，BM=2k，CD=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）n，BD=2n，则BC=4k，
在Rt△BDC中，∵BD²+CD²=BC²，
∴4n²+[（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）n]²=（4k）²，
可得n=$\frac{4k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$，
∴BD=$\frac{8k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$，
在Rt△ABM中，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{12-4\sqrt{3}}$k，
∴AD=BD-AB=$\frac{8k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}$-$\sqrt{12-4\sqrt{3}}$k，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\frac{8k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}}-\sqrt{12-4\sqrt{3}}k}{\sqrt{12-4\sqrt{3}}k}$=$\frac{8}{12-4\sqrt{3}}$-1=$\frac{2}{3-\sqrt{3}}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、一元二次方程，30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．