Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx-4a的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把C（0，4）代入y=ax²+bx-4a得出a=-1，由对称轴得出b=3，即可得出抛物线的解析式；结合图象容易得出当0≤x≤4时y的取值范围；
（2）把点D（m，m+1）代入抛物线解析式，求出m的值；由题意得出CD∥AB，且CD=3，再证明△OBC是等腰直角三角形，得出∠OCB=∠DCB=45°，得出点E在y轴上，OE=1，即可得出点E的坐标．

解答 解：（1）把C（0，4）代入y=ax²+bx-4a得：a=-1，
又∵对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
解得：b=3．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4，
顶点坐标为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）；
当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y≤$\frac{25}{4}$．    
（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m²+3m+4，
解得：m=-1，或m=3；
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（3，4）． 
又∵C（0，4），
∴CD∥AB，且CD=3．
当y=-x²+3x+4=0时，
解得：x=-1，或x=4，
∴B（4，0）；
当x=0时，y=4，
∴C（0，4），
∴OB=OC=4，
∴∠OCB=∠DCB=45°，
∴点E在y轴上，且CE=CD=3，
∴OE=1．
即点E的坐标为（0，1）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线解析式的求法、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和解析式的求法是解决问题的关键．