Question

【题目】如图,四边形ABCD中,AB=AD，∠BAD=90°，∠BCD=30°，∠BAD的平分线AE与边DC相交于点E,连接BE、AC,若AC=7，△BCE的周长为16,则线段BC的长为____.

Answer 1

【答案】6

【解析】

根据题意可先证明△ADE≌△ABE，得到DE=BE，然后分别作BF，AH垂直于CD交CD于点F、H，作AG垂直于FB并交FB的延长线于点G，证明四边形AGFH是正方形，再设BC=2x，在RT△BCF中，把三边都表示出来，根据勾股定理求x即可.

解：如图：

∵AE平分∠ BAD，

∴∠BAE=∠EAD，

又∵AB=AD，AE=AE，

∴△ADE≌△ABE，

∴DE=BE,

∵△BCE的周长为16，即BC+CE+BE=16，

∴BC+CE+DE=BC+CD=16，

分别作BF，AH垂直于CD交CD于点F、H，作AG垂直于FB并交FB的延长线于点G，

∴在四边形AGFH中，∠GAH=90°，

又∵∠BAD=90°，

∴∠GAB=∠DAH,

∵AB=AD，∠AGB=∠AHD=90°，

∴△ABG≌△ADH，

∴AG=AH，BG=HD，

∴四边形AGFH为正方形，

在RT△BCF中，∠BCD=30°，设BC=2x，则BF=x，CF=x，CD=16-2x，

∵CD=CF+FH+HD=16-2x，

∴CF+GF+HD=16-2x，

∴x+x+BG+HD=16-2x，

∵BG=DH,

∴DH= ，

∴CH=16-2x-= ，

∵AH=FG=BF+BG=x+= ，

在RT△ACH中，AC2=CH2+AH2，即（7）2=（）2+（）2，

解得x=3或x=5（根据线段长大于0舍去），所以BC=2x=6.

故本题答案为：6.