Question

14．如图，在正方形ABCD中，G为AB边的中点，∠BAD的平分线交DG于M，过点B作BE⊥BD交DG的延长线于点E，再过点A作AF⊥DG，交BC边于点F，交BD边于点N．
（1）求证：AM=BN；
（2）求证：AN=2EG；
（3）连接MN，若正方形ABCD的边长为2，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定和性质得出∠BAG=∠ADM，再证明△ABN与△DAM全等，进而证明即可；
（2）由ASA证明△BEG与△AGM全等，再利用全等三角形的性质得出GM=GE，AM=BE，再证明△AMD与△AEB全等即可；
（3）利用相似三角形的判定和性质进行解答即可．

解答 证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABF=∠DAG=90°，
∵AF⊥DG，
∴∠BAF+∠AGD=90°，
∵∠AGD+∠ADG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△ADG与△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADG}\\{∠DAG=∠ABF=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△BAF（AAS），
∴∠BAG=∠ADM，
∵∠ABN=∠DAM=45°，AB=AD，
在△ABN与△DAM中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAF=∠ADM}\\{∠ABN=∠DAM=45°}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△DAM（AAS），
∴AM=BN，DM=AN；
（2）连接AE，如图：

∵∠GAM=∠GBE=45°，∠AGM=∠BGE，AG=BG，
∴△BEG≌△AGM（ASA），
∴GM=GE，AM=BE，
∵∠ABE=∠DAM=45°，BE=AM，AB=AD，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠BAE=∠ADM，DM=AE，
∴∠EAM=∠EAB+45°=∠ADM+45°=∠AME，
∴AE=ME，
∴AN=DM=AE=2GM；
（3）连接MN，如图3

∵∠ADN=∠NBF，∠BNF=∠AND，
∴△ADN～△FBN，
∴$\frac{DN}{BN}=\frac{AD}{BF}=\frac{2}{1}$，
由（2）得：$\frac{DM}{GM}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{DN}{BD}=\frac{DM}{DG}=\frac{2}{3}$，
∵∠MDN=∠GDB，
∴△MDN∽△GDB，
∴$\frac{MN}{BG}=\frac{2}{3}$，
∴$MN=\frac{2}{3}BG=\frac{2}{3}$．

点评 此题考查正方形的性质和全等三角形判定以及性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．