Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E在对角线BD上，连接AE．点G是AD延长线上一点，DF平分∠GDC，且DF=BE，连接FB、FC，FB与AC交于点M．

（1）若点E是BD的三等分点（DE＜BE），BF=，求△ABE的面积；

（2）求证：DE=2CM．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由点E是BD的三等分点，设BE＝DF=2x，DE=x. 在Rt△BDF中，根据勾股定理得BD+DF=BF，即可求出的值，根据三角形的面积公式求解即可.

（2）延长DF、BC交于点H.证明△EBA≌△FDC，根据全等三角形的性质得到AE=CF,∠AEB=∠CFD，再证明△AED≌△CFH，即可证明.

解：（1）由题意易得∠BDF=90°，

∵点E是BD的三等分点（DE＜BE）

∴设BE＝DF=2x，DE=x.

在Rt△BDF中，∠BDF=90°

∵BD+DF=BF

∴9x+4x=156解得x=

∴BE=2x=,AO=BD=

∴△ABE面积=·BE·AO==18.

（2）同时延长DF、BC交于点H.

∵O是BD中点，OC∥DF

∴M是BF中点，C是BH中点.

∴CM是△BFH的中位线.

即FH=2CM.

在△EBA与△FDC中

EB=FD;∠ABE=∠FDC=45°，CD=AB

∴△EBA≌△FDC（SAS）.

∴AE=CF,∠AEB=∠CFD

∴∠AED=∠CFH.

∵CM∥FH

∴∠H=∠ACB=∠ADB=45°.

在△AED与△CFH中

∠ADB=∠H，∠AED=∠CFH，AE=CF

∴△AED≌△CFH（AAS）

∴DE=FH=2CM.