Question

17．已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD交于点F．
（1）如图1．当α=90°时．求证：①△ACE≌△BCD；②AE⊥BD；
（2）如图2．当α=60°时，直接写出∠AFB的度数为60°；
（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为180°-α  （用含α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）先根据等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，EC=DC，于是可根据“SAS”判断△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）由已知条件得到∠ACE=∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论．
（3）由已知条件得到∠ACE=∠BCD，推出△ACE≌△BCD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，推出A，B，F，C四点共圆，根据圆周角定理和平角的定义即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
又∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形
∴AC=BC，EC=DC，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BD；

（2）∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB=∠ACB=60°；
故答案为：60°；

（3））∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠CBD，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴∠AFB=∠ACB=α，
∴∠AFD=180°-α．
故答案为：180°-α．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，等边三角形的性质．