Question

10．如图，已知等边△ABC．
（1）求作△ABC的外接圆⊙O；
（2）若AB=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD和CE相交于点O，由于△ABC为等边三角形，则点O为△ABC的外心，所以以O点为圆心，OA为半径作圆即可得到△ABC的外接圆；
（2）利用等边三角形的性质得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，然后在Rt△AOE中利用余弦的定义可计算出OA．

解答 解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
在Rt△AOE中，∵cos∠EAO=$\frac{AE}{OA}$，
∴OA=$\frac{2}{cos30°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即⊙O的半径为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质和三角形的外心．