Question

如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=

1

2

∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,平行线分线段成比例

专题：几何图形问题,压轴题

分析：过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=

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，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4-2

3

，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=

3

-1．

解答：解：过F点作FG∥BC．
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=

1

2

BC=1，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=15°，AD⊥BC，
∵∠ACE=

1

2

∠BAC，
∴∠CAD=∠ACE=15°，
∴AF=CF，
∵∠ACD=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DCE=75°-15°=60°，
在Rt△CDF中，AF=CF=

DC

cos60°

=2，DF=CD•tan60°=

3

，
∵FG∥BC，
∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+

3

），
解得GF=4-2

3

，
∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4-2

3

）：2，
解得EF=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：综合考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．