Question

11．阅读材料
例：说明代数式$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+4}$的几何意义，并求它的最小值．
解：$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+4}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-3）^{2}+{2}^{2}}$，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则$\sqrt{（x-0）^{2}+{1}^{2}}$可以看成点P与点A（0，1）的距离，$\sqrt{（x-3）^{2}+{2}^{2}}$可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
      设点A关于x轴的对称点A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=3$\sqrt{2}$，即原式的最小值为3$\sqrt{2}$．
      根据以上阅读材料，代数式$\sqrt{{x}^{2}+49}$+$\sqrt{{x}^{2}-12x+37}$的最小值为10．

Answer 1

分析 先把原式化为$\sqrt{（x-0）^{2}+{7}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+1}$的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

解答 解：∵原式化为$\sqrt{（x-0）^{2}+{7}^{2}}$+$\sqrt{（x-6）^{2}+1}$的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，
如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
∴A′B=$\sqrt{A′{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案为：10．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．