Question

13．如图，AB是⊙O的直径，C是$\widehat{BD}$的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，BD交CA于点H．
（1）求证：点B、C、H在以点F为圆心的圆上；
（2）若CD﹦6，AC﹦8，求⊙O的半径和CE的长．

Answer 1

分析 （1）求出∠BCE=∠CAB=∠CBD，根据∠ACF+BCF=∠CHF+∠HBC=90°，求出∠CHF=∠HCF，根据等角对等边求出即可．
（2）求出BC=CD=6，根据三角形面积公式求出AB，即可求出圆的半径，证△ACB∽△BCM，得出比例式，求出DM，根据勾股定理求出BM，根据相交弦定理求出DM即可；

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠BCE﹦90°-∠ACE﹦∠CAB，
∵C是$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠CBD﹦∠CAB，
∴∠CBD﹦∠BCE，
∴CF﹦BF，
∵∠ACF+BCF=∠CHF+∠HBC=90°，
∴∠CHF=∠HCF，
∴FH=FC，
∴FH=FC=FB，
∴点B、C、H在以点F为圆心的圆上；

（2）∵C是$\widehat{BD}$的中点，CD=6
∴BC=CD=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}$=10，
则⊙O的半径为5，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{6×8}{10}$=4.8，
CE的长是 4.8．

点评 本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，相交弦定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识点的综合运用．