Question

19．如图，点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=$\frac{1}{x}$图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=$\frac{1}{x}$可求得B点坐标；
（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；
（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解答 解：
（1）∵点C在y=$\frac{1}{x}$的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1），
∵AC∥y轴，AB∥x轴，
∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上，
∴A（1，4），
∴B点纵坐标为4，
∵点B在y=$\frac{1}{x}$的图象上，
∴B点坐标为（$\frac{1}{4}$，4）；
（2）设A（a，$\frac{4}{a}$），则C（a，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{4}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3}{4}$a，AC=$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{a}$=$\frac{9}{8}$，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为$\frac{9}{8}$；
（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AC}{FC}$，即$\frac{\frac{3}{4}a}{EF}$=$\frac{\frac{3}{a}}{\frac{1}{a}}$，
∴EF=$\frac{1}{4}$a，
由（2）可知BG=$\frac{1}{4}$a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FCE}\\{∠BGD=∠FEC}\\{BG=EF}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FCE}\\{∠BGD=∠EFC}\\{BG=EF}\end{array}\right.$
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=EF．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．要（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出AB、AC的长是解题的关键，在（3）中证得BG=EF，构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．