【题目】如图,在中,为直径,过点的直线与相交于点,是弦延长线上一点,,的平分线与分别相交于点,,是的中点,过点作,与,的延长线分别交于点,.
(1)求证:是的切线;
(2)若,.
①求的半径;
②连接,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)①13;②
【解析】
(1)如图1,连接GO、GA,先根据角平分线的定义证明∠MAE=(∠BAC+∠BAD)=90°,由圆周角定理和同圆的半径相等得∠OGA=∠FAG,则OG∥AM,所以∠MGO=180-∠M=90,从而得结论;
(2)①延长GO交AE于点P,证明四边形MGPA为矩形,得GP=MA=18,∠GPA=90°,设OA=OG=r,则OP=18-r,根据勾股定理列方程解出即可;
②如图3,过M作MH⊥l,连接BC,延长NE交l于I,连接GO交延长交AE于P,tan∠MAH=tan∠ABE=tan∠BIA=,BI=2BE=20,根据三角函数计算MH,AH,CI的长,最后计算MH和HC的长,代入tan∠MCD=,可得结论.
(1)证明:如图1,连接,,
∵,的平分线与分别相交于点,,
∴.
∵,
∴.
∵是的中点,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵为半径,
∴是的切线.
(2)解:①如图2,连接并延长交于点,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,,即,
∴.
设,则,
在中,∵,
∴,
解得:,
故的半径是13.
②如图3,过作,连接,延长交于,连接并延长交于,
由①知:,,
∴.
∵是的直径,
∴.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,.
∵,,,
∴,,,
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,点A是双曲线y=上的动点,连结AO并延长交双曲线于点B,将线段AB绕B顺时针旋转60°得到线段BC,点C在双曲线y=上的运动,则k=____.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为D,连接AD,点P是线段AD上一个动点(不与A,D重合),过点P作y轴的垂线,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值.
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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),点P是抛物线上一动点,试过点P作x轴的垂线1,再过点A作1的垂线,垂足为Q,连接AP.
(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标;
(2)若△AQP∽△AOC,求点P的横坐标;
(3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧时,若将△APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q′,请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标.
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【题目】对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A. c<﹣3B. c<﹣2C. c<D. c<1
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【题目】下列说法不正确的是( )
A.机场对乘客进行安检不能采用抽样调查
B.一组数据10,11,12,9,8的平均数是10,方差是2
C.“清明时节雨纷纷”是随机事件
D.一组数据6,5,3,5,4的众数是5,中位数是3
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【题目】(问题提出):有同样大小正方形256个,拼成如图1所示的的一个大的正方形.请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过多少个小正方形?
(问题探究):我们先考虑以下简单的情况:一条直线穿越一个正方形的情况.(如图2)
从图中我们可以看出,当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交,所以当一条直线穿过一个小正方形时,这条直线会与其中某两条边产生两个交点,并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内.
这就启发我们:为了求出直线最多穿过多少个小正方形,我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段,进而通过线段的根数确定下正方形的个数.
再让我们来考虑正方形的情况(如图3):
为了让直线穿越更多的小正方形,我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形,我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况:从上下来看,这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段;从左右来看,这条直线最多可穿过左右平行的四条线段;这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段,从而直线上会产生6个交点,这6个交点之间的5条线段,每条会落在一个不同的正方形内,因此直线最多能经过5个小正方形.
(问题解决):
(1)有同样大小的小正方形16个,拼成如图4所示的的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过_________个小正方形.
(2)有同样大小的小正方形256个,拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(3)如果用一条直线穿过的大正方形的话,最多可以穿过___________个小正方形.
(问题拓展):
(4)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图5),最多可以穿过个___________小正方形.
(5)如果用一条直线穿过的大长方形的话(如图6),最多可以穿过___________个小正方形.
(6)如果用一条直线穿过的大长方形的话,最多可以穿过________个小正方形.
(类比探究):
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间,平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面,类比上面问题解决的方法解决如下问题:
(7)如图7有同样大小的小正方体8个,拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话,最多可以穿过___________个小正方体.
(8)如果用一条直线穿过的大正方体的话,最多可以穿过_________个小正方体.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是边AC的中点,CE⊥BD于E.若F是边AB上的点,且使△AEF为等腰三角形,则AF的长为_____.
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