Question

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，分别以AB，CA为底边向△ABC外作等腰三角形ABR和等腰三角形CAQ，连接RQ交AB于点T．
（1）当α=45°，△ABR和△CAQ都是等腰直角三角形时，$\frac{RT}{TQ}$=1．
（2）当α=30°，△ABR和△CAQ都是等边三角形时，求$\frac{RT}{TQ}$的值．
（3）当△ABR和△CAQ的底角都是90°-α，tanα=m，直接写出$\frac{RT}{TQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，只要证明四边形ARGQ是平行四边形即可．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，只要证明四边形ARGQ是平行四边形即可．
（3）如图3中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，只要证明四边形ARGQ是平行四边形即可．

解答 解：（1）如图1中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=∠RAB=∠QAC=45°，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四边形ARGQ是平行四边形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．
故答案为1．

（2）如图2中，如图1中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=30°，∠RAB=∠QAC=60°，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四边形ARGQ是平行四边形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．

（3）如图3中，如图1中，过点Q作QH⊥AC于H，延长交AB于G，连接RG，

∵AQ=QC，
∴AH=CH，QH⊥AC，
∵∠BCA=90°=∠AHG，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AR=BR，
∴RG⊥AB，
∵∠BAC=α，∠RAB=∠QAC=90°-α，
∴∠RAC=∠QAB=90°
∴AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GQ∥AR，RG∥AQ，
∴四边形ARGQ是平行四边形，
∴RT=TQ，
∴$\frac{RT}{TQ}$=1．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．