Question

【题目】在一张矩形纸片中，，，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题：

（1）如图①，折痕为，点的对应点在上，求证：四边形是正方形；

（2）如图②，、分别为、的中点，把矩形纸片沿着剪开，变成两张矩形纸片，将两张纸片任意叠合后（如图③），判断重叠四边形的形状，并证明；

（3）在（2）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）菱形，证明见解析；（3）最小值12cm；最大值20cm.

【解析】

（1）根据有一组邻边相等的矩形是正方形判定即可；

（2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定即可；

（3）根据垂线段最短和角与正弦值的关系判定即可.

解:（1）∵四边形是矩形，

∴

由折叠的性质可知，，.

∴四边形是正方形；

（2）重叠四边形是菱形

证明：如图①，

∵剪开的两个纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，

∴四边形是平行四边形.

图①

过作于点，于点，

又∵，.

∴，

∴四边形是菱形

（3）根据垂线段最短，故当两个矩形纸片互相垂直放置时（如图②），这个菱形的周长最小为.

根据其中HN为定值，当∠HPN越小，PN就越大，故当两个矩形纸片按如图③所示放置时，重叠部分的菱形周长最大.

图② 图③

设，则.

在中，，

解得.

则这个菱形的周长最大为.