已知四边形ABCD中.AB⊥AD.BC⊥CD.AB=BC.∠ABC=120°.∠MBN=60°.将∠MBN绕点B旋转．(1)当∠MBN旋转到的位置.此时∠MBN的两边分别交AD.DC于E.F.且AE=CF.求证:①BE=BF②AE+CF=EF,(2)当∠MBN旋转到的位置.此时∠MBN的两边分别交AD.DC于E.F.且AE≠CF时.小颖猜想(1)中的AE+CF=EF仍然成立.并� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．
（1）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF②AE+CF=EF；
（2）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想（1）中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
（3）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．

考点：全等三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：（1）易证△ABE≌△CBF即可证明；②根据△ABE≌△CBF可证△BEF是等边三角形，即可解题；
（2）证明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可证AE+CF=EF；
（3）证明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．

解答：解：（1）①在△ABE和△CBF中，

AB=BC

∠A=∠BCF

AE=CF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF；
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF=

（∠ABC-∠MBN）=

（120°-60°）=30°．
∴AE=

BE，CF=

BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=

BE+

BF=EF；
（2）延长DC至K点使得CK=AE，如图．

在△ABE和△CBK中，

AB=BC

∠A=∠BCK

AE=CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BK=BE

∠KBF=∠EBF

BF=BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；
（3）如图3，猜想AE-CF=EF．
证明如下：

在DC的延长线上取点K，
使CK=AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，

AB=BC

∠A=∠BCK

AE=CK

，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，

BE=BK

∠KBF=∠EBF

BF=BF

，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各边长相等的性质．

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