如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线经过B,C两点,与x轴的另一个交点为点A,动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动,运动时间为t(0<t<5)秒.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标;
(2)以OC为直径的⊙O′与BC交于点M,当t为何值时,PM与⊙O′相切?请说明理由.
(3)在点P从点A出发的同时,动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动,动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动,运动时间和点P相同.
①记△BPQ的面积为S,当t为何值时,S最大,最大值是多少?
②是否存在△NCQ为直角三角形的情形?若存在,求出相应的t值;若不存在,请说明理由.
解:(1)在y=﹣x+9 中,令x=0,得y=9;令y=0,得x=12. ∴C(0,9),B(12,0). 又抛物线经过B,C两点,∴,解得 ∴y=﹣x2+x+9. 于是令y=0,得﹣x2+x+9=0, 解得x1=﹣3,x2=12.∴A(﹣3,0). (2)当t=3秒时,PM与⊙O′相切.连接OM. ∵OC是⊙O′的直径,∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°. ∵O′O是⊙O′的半径,O′O⊥OP,∴OP是⊙O′的切线. 而PM是⊙O′的切线,∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO. 又∵∠POM+∠OBM=90°,∠PMO+∠PMB=90°,∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB. ∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3(秒). ∴当t=3秒,PM与⊙O′相切. (3)①过点Q作QD⊥OB于点D. ∵OC⊥OB,∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=. 又∵OC=9,BQ=3t,BC=15,∴=,解得QD=t. ∴S△BPQ=BP•QD=.即S=. S=.故当时,S最大,最大值为. ②存在△NCQ为直角三角形的情形. ∵BC=BA=15,∴∠BCA=∠BAC,即∠NCM=∠CAO. ∴△NCQ欲为直角三角形,∠NCQ≠90°,只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况. 当∠NQC=90°时,∠NQC=∠COA=90°,∠NCQ=∠CAO, ∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=,解得t=. 当∠QNC=90°时,∠QNC=∠COA=90°,∠QCN=∠CAO, ∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=,解得. 综上,存在△NCQ为直角三角形的情形,t的值为和. |
科目:初中数学 来源: 题型:
某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套. 经招标,购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元,且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元.
(1)求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元?
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元,并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的,求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案?哪种方案的总费用最低?
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,点E、F分别是正方形纸片ABCD的边BC、CD上一点,将正方形纸片ABCD分别沿AE、AF折叠,使得点B、D恰好都落在点G处,且EG=2,FG=3,则正方形纸片ABCD的边长为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
在一次数学活动课上,数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
今秋,某市白玉村水果喜获丰收,果农王灿收获枇杷20吨,桃子12吨.现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨.
(1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?有几种方案?
(2)若甲种货车每辆要付运输费300元,乙种货车每辆要付运输费240元,则果农王灿应选择哪种方案,使运输费最少?最少运费是多少?
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