Question

将一个等腰直角三角板放在坐标系中，如图所示，三个顶点坐标分别是A（0，2），B（2，1），C（1，-1），将三角板绕A点顺时针转α°后，使B点与x轴上的点D（-1，0）重合．
（1）写出点E的坐标和α的值（直接写出结果）；
（2）求出过B，C，E三点的抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAD是以AD为腰的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）E（-3，1）α=90
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c根据题意得：

9a-3b+c=1 a+b+c=-1 4a+2b+c=1

解得：

a= 1 2 b= 1 2 c=-2

∴解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2
（3）存在
①设抛物线的对称轴于x轴交于点F，以D点为圆心，以AD为半径画弧，交对称轴于P₁，P₂，
∵抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2的对称轴为x=-

1

2

∴DF=1-

1

2

=

1

2

∵在Rt△ADO中，OA=2，OD=1
∴AD=

22+1

=

5

∴FP1=

( 5 )2-( 1 2 )2

=

19

2

∴P₁（-

1

2

，

19

2

）
∵点P₁与点P₂关于x轴对称
∴P₂（-

1

2

，-

19

2

）
②以A为圆心，以AD为半径画弧交x轴与P₃，P₄，
过A作AM垂直对称轴于M，同理可求得P₃M=P₄M=

19

2

∴FP₃=FM+MP₃=2+

19

2

∴P₃（-

1

2

，2+

19

2

）
FP₄=MP₄-FM=

19

2

-2
∴P₄（-

1

2

，2-

19

2

）
综上所述，点P的坐标分别为P₁（-

1

2

，

19

2

）、P₂（-

1

2

，-

19

2

）、P₃（-

1

2

，2+

19

2

）、P₄（-

1

2

，2-

19

2

）