精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:(本题12分)
探究一:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系,并证明你的结论;

探究二:如图③,DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若AB=5,CF=1,求DF的长度。
解:(1)如图

(2)结论:AB=AF+CF.
证明:分别延长AE、DF交于点M.

∵E为BC的中点,
∴BE=CE,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中,

∴△ABE≌△MCE,
∴AB=MC,
又∵∠BAE=∠EAF,
∴∠M=∠EAF,
∴MF=AF,
又∵MC=MF+CF,
∴AB=AF+CF;
(3)分别延长DE、CF交于点G.

∵AB∥CF,
∴∠B=∠C,∠BAE=∠G,
∴△ABE∽△GCE,

∵AB=5,
∴GC=10,
∵FC=1,
∴GF=9,
∵AB∥CF,
∴∠BAE=∠G,
又∵∠BAE=∠EDF,
∴∠G=∠EDF,
∴GF=DF,
∴DF=9.
(1)根据全等三角形的判定中的边角边为作图的理论依据,来画出全等三角形.
(2)本题可通过作辅助线将AB,FC,AF构建到一个相关联的三角形中,可延长AE、DF交于点M,不难证明△ABE≌△MCE,那么AB=CF,现在只要将AF也关联到三角形BEC中,我们发现,∠BAE=∠EAF,∠BAE=∠M(AB∥CD),那么三角形AMF就是个等腰三角形,AF=MF,因此AB=MC=MF+FC=AF+FC;
(3)本题的作法与(2)类似,延长DE、CF交于点G,不难得出△ABE∽△GCE,
可根据线段的比例关系和AB的值得到CG的值,然后就能得出FG的值,同(2)可得出△DFG是等腰三角形,那么DF=GF,这样就求出DF的值了.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:如图,在△ABC中,点D在AC上,点E在CB的延长线上,且AD=BE,求证:

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,请你添加一个条件,使△ABC与△AED相似,你添加的条件是       

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

两个相似三角形的相似比为2:3,它们的面积和为65,那么较大三角形的面积是______.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,直线l1//l2,AF:FB=2:3,BC:CD=2:1,则AE:EC是        .

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°.
(1)尺规作图:过点C作CD⊥AC交AB于点D;
过A,D,C三点作⊙O(只要求作出图形,保留痕迹,不要求写作法);
(2)求证:.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分别为边AB、BC的中点,连结DE,点P从点A出发,沿折线AD-DE-EB运动,到点B停止.点P在AD上以cm/s的速度运动,在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动.当点P与点A不重合时,过点P作PQ⊥AC于点Q,以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在线段AC上.设点P的运动时间为t(s).

(1)当点P在线段DE上运动时,线段DP的长为______cm,(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在AB边上时,求t的值.
(3)当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时,设五边形的面积为S(cm²),求S与t的函数关系式.
(4)连结CD.当点N于点D重合时,有一点H从点M出发,在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动,直至点P与点E重合时,点H停止往返运动;当点P在线段EB上运动时,点H始终在线段MN的中心处.直接写出在点P的整个运动过程中,点H落在线段CD上时t的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,菱形ABCD中,CF⊥AD,垂足为E,交BD的延长线于F.求证:AO2=BO•OF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案