Question

10．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求$\widehat{BC}$的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；
（2）首先求出$\widehat{BC}$的度数，再利用弧长公式直接求出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠DCB+∠BAD=180°，
∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°-105°=75°，
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB=∠DBC=75°，
∴BD=CD；

（2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°，
∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，$\widehat{BC}$的度数为：60°，
故$\widehat{BC}$=$\frac{nπR}{180}$=$\frac{60π×3}{180}$=π，
答：$\widehat{BC}$的长为π．

点评 此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理等知识，根据题意得出∠DCB的度数是解题关键．