Question

15．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为4．

Answer 1

分析 OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CD=EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长．

解答 解：OC交BE于F，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥l，
∴BE∥CD，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵OF⊥BE，
∴BF=EF=4，
∴CD=4．
故答案为4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形．