Question

【题目】 如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点 D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若OC＝3，OF＝1，求cosB的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据垂径定理求出∠EOF=90°，根据等腰三角形性质求出∠BAF=∠BFA，∠E=∠OAE，求出∠OAE+∠BAF=90°，根据切线的判定得出即可；

（2）设AB=x，则BF=x，OB=x+1，根据勾股定理求出AB的长，解直角三角形求出即可．

（1）证明：连接OA、OE，

∵点E是下半圆弧的中点，OE过O，

∴OE⊥DC，

∴∠FOE＝90°，

∴∠E+∠OFE＝90°，

∵OA＝OE，AB＝BF，

∴∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，

∵∠AFB＝∠OFE，

∴∠OAE+∠BAF＝90°，

即OA⊥AB，

∵OA为半径，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1，

∵OA＝OC＝3，

由勾股定理得：OB2＝AB2+OA2，

∴（1+x）2＝32+x2，

解得：x＝4，

∴cosB＝．