Question

如图，△ABC被与其三边分别平行的直线分割成七个区域，如果其中的三个平行四边形与中间的三角形的面积都是1，则△ABC的面积为

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：连接GH，如图．由FI∥AC，S_?AEKF=S_?DCIJ=1可得AE=DC，从而有AD=EC，进而可证到△ADG≌△ECH，则有AG=EH，S_△ADG=S_△ECH，从而得到四边形AEHG是平行四边形，且S_{四边形FKLG}=S_{四边形IJLH}．同理可得S_{四边形FKLG}=S_{四边形EKJD}．设S_{四边形FKLG}=S，则S_{四边形IJLH}=S_{四边形EKJD}=S．易证△BGH∽△GAD，根据相似三角形的性质可得

S△BGH

S△GAD

=（

BG

GA

）²．由EH∥AB可得

S?BGLH

S?GAEH

=

BG

GA

，从而有

S△BGH

S△GAD

=（

S?BGLH

S?GAEH

）²．，即可得到关于S的方程，解这个方程就可解决问题．

解答：解：连接GH，如图．
∵FI∥AC，S_?AEKF=S_?DCIJ=1，
∴AE=DC，∴AD=EC．
∵EH∥AB，DG∥BC，
∴∠A=∠HEC，∠ADG=∠ECH．
在△ADG和△ECH中，

∠A=∠HEC AD=EC ∠ADG=∠ECH

，
∴△ADG≌△ECH（ASA），
∴AG=EH，S_△ADG=S_△ECH，
∴四边形AEHG是平行四边形，S_{四边形AELG}=S_{四边形CDLH}，
∴GH∥AE，1+S_{四边形FKLG}=1+S_{四边形IJLH}，
∴S_{四边形FKLG}=S_{四边形IJLH}．
同理可得：S_{四边形FKLG}=S_{四边形EKJD}．
设S_{四边形FKLG}=S，则S_{四边形IJLH}=S_{四边形EKJD}=S．
∵GH∥AE，GD∥BC，
∴∠BGH=∠A，∠B=∠AGD，
∴△BGH∽△GAD．
∴

S△BGH

S△GAD

=（

BG

GA

）²．
∵EH∥AB，∴

S?BGLH

S?GAEH

=

BG

GA

，
∴

S△BGH

S△GAD

=（

S?BGLH

S?GAEH

）²．
∴

1 2

2S+2

=（

1

S+1+ 1 2

）²．
整理得：4S²-4S-7=0．
解得：S₁=

1

2

-

2

（舍去），S₂=

1

2

+

2

．
∴S_△ABC=3S+4=

3

2

+3

2

+4=

11+6 2

2

．
故答案为：

11+6 2

2

．

点评：本题考查了面积及等积变换、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程、两平行线间的距离处处相等、两平行四边形高相等时面积比等于对应底的比等知识，综合性强，有一定的难度，而证到S_{四边形FKLG}=S_{四边形EKJD}=S_{四边形IJLH}并利用

BG

GA

建立等量关系是解决本题的关键．