Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．
求证：（1）△ACD∽△CBD；（2）CD²=AD•BD．

Answer 1

分析：（1）根据CD是斜边AB上的高，利用直角三角形两锐角互余的性质求证∠A=∠BCD，然后即可求证△ACD∽△CBD．
（2）由（1）得△ACD∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例即可求得结论．

解答：证明：（1）∵CD是斜边AB上的高．
∴∠ADC=∠CDB=90°，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD；

（2）由（1）得△ACD∽△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
∴CD²=AD•BD．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，比较简单，都是一些基础知识，要求学生熟练掌握．