Question

如图，

PA

=

PB

，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接PC、PD交弦AB于E、F两点．
求证：（1）PC=PD；（2）PE=PF．

Answer 1

分析：（1）本题可通过全等三角形来证PC=PD，连接PO，那么证明三角形POC和POD就是解题的关键．已知的条件有OC=OD（C、D分别是半径OA、OB的中点），一条公共边OP，我们只要再证得这两组对应边的夹角相等即可得出结论．我们发现弧PA=弧PB，因此根据圆心角定理可得出∠COP=∠POD，因此就凑齐了三角形全等的所有条件；
（2）可通过角相等来证线段相等，那么证明∠PEF=∠PFE是关键，也就是证明∠AEC=∠BFD，题中已知了OA=OB，因此∠A=∠B，只要证得∠PCO=∠PDO就行了．而这两个角正好是（1）中证得的全等三角形的对应角，因此这两角就相等了．

解答：证明：（1）连接PO，
∵

PA

=

PC

，
∴∠POC=∠POD．
∵C、D分别是半径OA、OB的中点，
∴OC=OD．
∵PO=PO，
∴△PCO≌△PDO．
∴PC=PD．

（2）∵△PCO≌△PDO，
∴∠PCO=∠PDO．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B．
∴∠AEC=∠BFD．
∴∠PEF=∠PFE．
∴PE=PF．

点评：本题主要考查了圆心角定理，全等三角形的判定等知识点，通过全等三角形得出线段或角相等是本题解题的关键所在．