Question

【题目】如图，中，，是中点，是中点，是的外角的角平分线，延长交于点，连接.

（1）求证：四边形是矩形；

（2）填空：

①若，则四边形的面积为_______；

②当满足______时，四边形是正方形.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②答案不唯一，如当时，或者，当时，

【解析】

（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=（∠B+∠ACB），再由∠B=∠ACB，得∠MAE=∠B，则AN∥BC，根据CE⊥AN，得出四边形ADCE为矩形．
（2）①先证明四边形ABDE为平行四边形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出BD和AD长，则四边形ABDE的面积可求出；
②由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD=DC即可．

（1）∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠MAC，
∵∠MAC=∠B+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠MAE=∠B，
∴AN∥BC，
∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，

∵，是中点， 是的外角的角平分线，

∴AD平分∠BAC, 是的外角的角平分线，

∴CE⊥AN，
∵CE⊥AN，
∴AD∥CE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）①解：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
由（1）知AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵BC=AB=4，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC=90°，BD=2，
∴AD＝BDtan60°＝2×＝2，
∴四边形ABDE的面积为BD×AD=2×2=4，
故答案为：4；
②解：答案不唯一，如当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD=DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC=90°．