Question

在坐标平面中，直线y=x+5分别交x轴、y轴于A、B，直线y=-2x+20分别交x轴、y轴于C、D，直线AB、CD相交于E，
（1）求点E的坐标；
（2）点P为线段AE上的一点，过点P作x轴的平行线分别交直线CB、CD于F、G，设P点的横坐标为m，线段PF的长度为d，求d与m的函数关系式（直接写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，求m的值．

Answer 1

分析：（1）联立两直线解析式，解二元一次方程组即可求出点E的坐标；
（2）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后分①当点P在线段AB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点F的横坐标减去点P的横坐标，计算即可得解；②当点P在线段EB上时，根据点P、F、G的纵坐标相同表示出点P、F的坐标，然后根据PF的长度等于点P的横坐标减去点F的横坐标，计算即可得解；
（3）先求出点D的坐标，再求出点G的坐标，然后表示出FG，然后求出△BCD的面积，再分①点P在AB上时，根据△EFC的面积占2份列式求解即可得到m的值；②点P在EB上时，设EF与y轴的交点为M，根据△DME的面积占2份列式求出DM的长，从而求出点M的坐标，然后求出直线EM的解析式，再与直线BC的解析式联立求解即可得到F的坐标，然后根据与点P的纵坐标相等计算即可求出m的值．

解答：解：（1）联立

y=x+5 y=-2x+20

，
解得

x=5 y=10

．
所以，点E（5，10）；

（2）由题意可知B（0，5），C（10，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则

5=b 0=10k+b

，
解得

k=- 1 2 b=5

，
∴直线BC的解析式为y=-

1

2

x+5，
①当点P在线段AB上时（如图1），
∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，
∴P（m，m+5），F（-2m，m+5），
∴d=-2m-m=-3m （-5≤m＜0），
②当点P在线段EB上时（如图2），
∵P、F、G三点具有相同的纵坐标，
∴P（m，m+5），F（-2m，m+5），
∴d=m-（-2m）=3m（0＜m≤5）；

（3）D（0，20），G（

15-m

2

，m+5），FG=

15-m

2

-（-2m）=

15+3m

2

，
S_△DBC=

1

2

DB×OC=

1

2

×15×10=75，
①如图1，当S_△EFC：S_△DBC=2：5时，S_△EFC=30，
∴S_△EFC=

1

2

×

15+3m

2

×10=30，
∴m=-1，
②如图2，EF交y轴于点M，当S_△DME：S_△DBC=2：5时，S_△DME=30，
∴DM=12∴M（0，8），
可求直线EM的解析式为y=

2

5

x+8，
∵

y= 2 5 x+8 y=- 1 2 x+5

，
∴

k=- 10 3 b= 20 3

，
∴F（-

10

3

，

20

3

），
∴m+5=

20

3

，
∴m=

5

3

，
∴当直线EF把△BCD的面积分成2：3两部分时，m的值为-1或

5

3

．

点评：本题考查了一次函数综合题，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标，三角形的面积，难点在于要根据动点P的位置分情况讨论．