Question

18．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△₁、△₂、△₃（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是64．

Answer 1

分析 首先过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，判断出△₁∽△₂∽△₃，再根据相似三角形的性质，判断出它们的边长比为1：2：5；然后判断出BC、DM的关系，根据相似三角形的面积的比等于它们的相似比的平方，判断出S_△ABC、S_△FDM的关系，求出△ABC的面积是多少即可．

解答 解：如图，，
过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，
根据题意得，△₁∽△₂∽△₃，
∵△₁：△₂=1：4，△₁：△₃=1：25，
∴它们的边长比为1：2：5，
又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
∴DM=BG，EM=CH，
设DM为x，
则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，
∴BC：DM=8：1，
∴S_△ABC：S_△FDM=64：1，
∴S_△ABC=1×64=64．
故答案为：64．

点评 此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．