Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10．
（1）求AC边的长；
（2）若动点P、Q同时从A点出发沿三角形的边界运动，P点以1个单位/秒的速度沿A→B→C→A方向运动，Q点以2个单位/秒的速度沿A→C→B→A方向运动，当P、Q相遇时都停止运动．
①求P、Q运动6秒时△APQ的面积；
②设点P、Q运动时间为t秒，△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式，S是否有最大值？若有，请求出对应的t值和S的最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在直角三角形ABC中，AB=8，BC=10，
根据勾股定理可得：AC=6．

（2）1）当t=6时，AP=6，AC+CQ=2×6=12，
∴BQ=AC+BC-（AC+CQ）=6+10-12=4，
过点Q作QD⊥AB于D，
∵∠A=90°，
∴QD∥AC，
∴，
即，
∴QD=，
S_△APQ=×AP×QD=×6×=．
2）当P，Q相遇时3t=10+6+8，解得t=8．
因此本题分两种情况进行讨论：
①当0＜t≤6时，S=AP•AQ=t²，
因此当t=6时，Smax=18．
②当6＜t≤8时，S=（16-t）××t=-（t-8）²+；
因此当t=8时，Smax=．
综上所述，当t=8时，S的值最大，最大值为．
分析：（1）在直角三角形ABC中直接用勾股定理即可求出AC的长．
（2）1）当运动6秒时Q点与C点重合，因此三角形的面积为OC•AP据此可靠求出其值．
2）本题要分三种情况进行求解：
①当Q在AC（包括C点）上运动时，三角形APQ的面积可用AP•AQ÷2来求得．
②当Q在BC上运动，而P在AB上运动时（包括P，B重合），三角形APQ的面积可用AP•BQ•sin∠B÷2来求得．
③当Q，P都在BC上运动直到两点相遇停止运动．三角形APQ的面积可用三角形AQB的面积-三角形ABP的面积来求．
综上所述可得出关于不同的t的取值范围内S，t的函数关系式，可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值和对应的t的值．
点评：本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、一次函数和二次函数的综合应用等知识点，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．