Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连结BD，作∠CBD的平分线交CD于点E，则CE的长度为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作EH⊥BD于H．思想利用勾股定理求出BD，再证明△EBH≌△EBC，可得BC=BH=4，EC=EH，设EC=EH=x，在Rt△DEH中，根据DE²=DH²+EH²，列出方程即可解决问题．

解答 解：作EH⊥BD于H．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=4，∠C=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵BE平分∠CBD，
∴∠EBC=∠EBH，
在△EBH和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHB=∠C=90°}\\{∠EBH=∠EBC}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△EBC，
∴BC=BH=4，EC=EH，设EC=EH=x，
在Rt△DEH中，∵DE²=DH²+EH²，
∴（3-x）²=1²+x²，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴CE=$\frac{4}{3}$，
故选A．

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．