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精英家教网如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,DE,AB相交于点G,若∠BAC=30°,下列结论:①EF⊥AC;②四边形ADFE为平行四边形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是
 
分析:根据已知先判断△ABC≌△EFA,则∠AEF=∠BAC,得出EF⊥AC,由等边三角形的性质得出∠BDF=30°,从而证得△DBF≌△EFA,则AE=DF,再由FE=AB,得出四边形ADFE为平行四边形,根据平行四边形的性质得出AD=4AG,从而得到答案.
解答:解:∵△ACE是等边三角形,
∴∠EAC=60°,AE=AC,
∵∠BAC=30°,
∴∠FAE=∠ACB=90°,AB=2BC,
∵F为AB的中点,
∴AB=2AF,
∴BC=AF,
∴△ABC≌△EFA,
∴FE=AB,
∴∠AEF=∠BAC=30°,
∴EF⊥AC,故①正确,
(含①的只有B和D,它们的区别在于有没有④.它们都是含30°的直角三角形,并且斜边是相等的),
∵AD=BD,BF=AF,
∴∠DFB=90°,∠BDF=30°,
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°,
∴∠DFB=∠EAF,
∵EF⊥AC,
∴∠AEF=30°,
∴∠BDF=∠AEF,
∴△DBF≌△EFA(AAS),故④正确.
∴AE=DF,
∵FE=AB,
∴四边形ADFE为平行四边形,故②正确;
∴AG=
1
2
AF,
∴AG=
1
4
AB,
∵AD=AB,
则AD=AG,故③,
故答案为①②③④.
点评:本题考查了平行四边形的判定和性质,以及全等三角形的判定和性质,解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形,然后按排除法来进行选择.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图①,分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3
(1)如图②,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,写出它们的关系;(不必证明)
(2)如图③,分别以Rt△ABC三边为边向外作正三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,确定它们的关系并证明;
(3)若分别以Rt△ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件?
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,连接DF、EF、DE,EF与AC交于点O,DE与AB交于点G,连接OG,若∠BAC=30°,下列结论:
①△DBF≌△EFA;②AD=AE;③EF⊥AC;④AD=4AG;⑤△AOG与△EOG的面积比为1:4.
其中正确结论的序号是(  )
A、①②③B、①④⑤C、①③⑤D、①③④

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB中点,连接DF、EF,DE、EF与AC交于点O,DE与AB交于点G,连接OG,若∠BAC=30°,下列结论:①△DBF≌△EFA;②AD=AE;③EF⊥AC;④AD=4AG;⑤△AOG与△EOG的面积比为1:4.其中正确的结论的序号是
①③④
①③④

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关系式
S1=S2+S3
S1=S2+S3

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