Question

13．【方法呈现】：
（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；

【实际运用】：
（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；
【拓展延伸】：
（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，则△APC的面积是$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+3（直接填答案）

Answer 1

分析 （1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．
（2）连结PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP′=4$\sqrt{3}$，∠BP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P=90°，然后计算即可得解；
（3）根据全等三角形的面积相等求出△APB与△APC的面积之和等于四边形APCP₁的面积，然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面积列式计算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积=△ABC的面积-△APB与△APC的面积的和计算即可得解．

解答 解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，
∴S_△PAB=S_△P'CB，
S_阴影=S_扇形BAC-S_扇形BPP′=$\frac{π}{4}$（a²-b²）；

（2）如图2，连结PP′．
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，
∴BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$PB=4$\sqrt{2}$，∠BP′P=45°．
在△CPP′中，∵PP′=4$\sqrt{2}$，CP′=2，PC=6，
∴PP′²+CP′²=PC²，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P=90°，
∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°；

（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P₁AC，连结PP₁，
∴△APB≌△AP₁C，
∴AP=AP₁，∠PAP₁=60°，CP₁=BP=4，
∴△PAP₁是等边三角形，
∴PP₁=AP=3，
∵CP=5，CP₁=4，PP₁=3，
∴PP₁²+CP₁²=CP²，
∴△CP₁P是直角三角形，∠CP₁P=90°，
∴S_△APP1=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，S_△PP1C=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_{四边形APCP1}=S_△APP1+S_△PP1C=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+6；
∵△APB≌△AP₁C，
∴S_△ABP+S_△APC=S_{四边形APCP1}=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+6；
如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×3×4=4$\sqrt{3}$+6，
△APC和△BPC的面积的和=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$+6，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+6+4$\sqrt{3}$+6+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$+6）=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$+9，
∴△APC的面积=△ABC的面积-△APB与△BPC的面积的和=（$\frac{25\sqrt{3}}{4}$+9）-（4$\sqrt{3}$+6）=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+3．
故答案为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$+3．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，其中（3）较为复杂，求出△ABC的面积是解题的关键．