Question

14．定义：若存在实数对坐标（x，y）同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=$\frac{k}{x}$，则二次函数y=px²+qx-k为一次函数和反比例函数的“联姻”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y=-x+3和反比例函数y=$\frac{2}{x}$是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且一次函数y=（1+n）x+2m+2与反比例函数y=$\frac{2015}{x}$存在“联姻”函数y=（m+t）x²+（10m-t）x-2015，求m的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标[x₁，y_1]和[x₂，y₂]使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=$-\frac{c}{x}$为“联姻”函数，其中，实数a＞b＞c，a+b+c=0，设L=[x₁-x₂]，求L的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需将y=-x+3与y=$\frac{2}{x}$组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
（2）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+n=m+t}\\{2m+2=10m-t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{n+3}{9}}\\{t=\frac{8n+6}{9}}\end{array}\right.$．然后根据t＜n＜8m求出n的取值范围，进而求出m的取值范围，就可求出整数m的值；
（3）由a＞b＞c，a+b+c=0可得a＞0，c＜0，a＞-a-c，-a-c＞c，即可得到（2b）²-4ac＞0，-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，由题可得x₁+x₂=-$\frac{2b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，从而得到L=$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1+}{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=2$\sqrt{（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，利用二次函数的增减性并结合-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$即可得到L的取值范围．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$．
则一次函数y=-x+3和反比例函数y=$\frac{2}{x}$存在“联姻”函数，
它们的“联姻”函数为y=-x²+3x-2，实数对坐标为（1，2），（2，1）；

（2）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{1+n=m+t}\\{2m+2=10m-t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{n+3}{9}}\\{t=\frac{8n+6}{9}}\end{array}\right.$．
∵t＜n＜8m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8n+6}{9}＜n}\\{n＜\frac{8n+24}{9}}\end{array}\right.$
解得6＜n＜24，
∴9＜n+3＜27，
∴1＜$\frac{n+3}{9}$＜3，
∴1＜m＜3．
∵m是整数，
∴m=2；

（3）∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c，-a-c＞c，
∴（2b）²-4ac＞0，-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴方程ax²+2bx+c=0有两个不相等的实根．
由题可得：x₁、x₂是方程ax+2b=-$\frac{c}{x}$即ax²+2bx+c=0的两个不等实根．
∴x₁+x₂=-$\frac{2b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∴L=$|\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}}\end{array}|$=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1+}{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$
=$\sqrt{（-\frac{2b}{a}）^{2}-4×\frac{c}{a}}$=2$\sqrt{\frac{{b}^{2}-ac}{{a}^{2}}}$
=2$\sqrt{\frac{（-a-c）^{2}-ac}{{a}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{{a}^{2}+ac+{c}^{2}}{{a}^{2}}}$
=2$\sqrt{1+\frac{c}{a}+（\frac{c}{a}）^{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{3}$＜L＜2$\sqrt{3}$．

点评 本题是一道阅读题，主要考查阅读理解能力，在解决问题的过程中用到了解方程组、解不等式组、根与系数的关系、完全平方公式等知识，有一定的难度，运用配方法及二次函数的增减性是解决第（3）小题的关键．